На одном из концов резинового шнура длиной L=12 см и поперечным сечением A=9 мм2 прикреплен груз массой m=0.13 кг. Груз раскрутили за свободный конец шнура до угловой скорости ω=15 1/с. Чему станет равной длина шнура L* при вращении груза? Массу шнура и силу тяготения не учитывать. Модуль Юнга резины: E=8·106 Па.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения новой длины шнура L* воспользуемся законом сохранения механической энергии.

Изначально потенциальная энергия у груза равна потенциальной энергии ускорения, т.е. mgh = 1/2Iω^2, где
m - масса груза,
g - ускорение свободного падения,
h - высота, на которую поднимется груз при вращении (допущим, что L* - L),
I - момент инерции груза,
ω - угловая скорость вращения.

Приращение потенциальной энергии: g(L - L) = 1/2I*ω^2. Момент инерции груза зависит от его распределения массы.

Изучив ситуацию, можем предположить, что шнур будет натягиваться равномерно, т.е. акт наращений он будет принимать форму окружности. Момент инерции можно определить, предполагая, что груз - это точечная масса, и применить законы сохранения энергии через первоначальное условие.
mgh = 1/2Iω^2,
m(g(L-L)) = 1/2m(d^2(ωt)/dt^2),
g(L-L) = 1/2d^2(ωt)/dt^2,
2g(L-L)dt = d^2ω.

Интегрируя обе стороны от уравнения, получим L=L+ω^2t^2/(2g).

Определим t через ω и ускорение - ω = dφ/dt, то ω = φL = ωtL = ωt(L+ω^2t^2/(2g)), поэтому t = (ωL+(ω^2L^2)/(2g))^0.5/ω.

Подставив найденное значение t в выражение для L, найдём L.