Представим, что мы нашли холодную планету без морей и океанов, без расплавленной магмы внутри. Планета имеет массу и размеры, равные земным и вращается вокруг своей оси как Земля. Допустим на экваторе планету разрезали на два полушария и разнесли эти полушария на небольшое расстояние. Потом наблюдатель сбросил в это пространство небольшой камушек.
Вычислить минимальное расстояние до центра планеты, на котором окажется камушек. Считать, что сопротивление движению отсутствует. Планета однородна.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи можем воспользоваться законом сохранения момента импульса. Импульс камня будем обозначать как ( p = m \cdot v ), где ( m ) - масса камня, ( v ) - его скорость. Так как сопротивление движению отсутствует, то момент импульса камня будет постоянным во всех точках его движения.

Для начального момента, когда камень находится на поверхности планеты на экваторе, имеем ( p = m \cdot v{0} \cdot r{1} ), где ( r{1} ) - расстояние от центра планеты до экватора, ( v{0} ) - начальная скорость камня.

Для момента, когда камень окажется на расстоянии ( r{2} ) от центра планеты, имеем ( p = m \cdot v{1} \cdot r{2} ), где ( v{1} ) - скорость камня на расстоянии ( r_{2} ).

Так как момент импульса постоянен, то ( m \cdot v{0} \cdot r{1} = m \cdot v{1} \cdot r{2} ).
Также, из закона сохранения энергии имеем ( m \cdot v{0}^{2}/2 = m \cdot v{1}^{2}/2 - G \cdot M \cdot m /(r{2}-r{planet}) ), где G - гравитационная постоянная, M - масса планеты, ( r_{planet} ) - радиус планеты.

Подставляя ( v{1} = v{0} \cdot r{1}/r{2} ) в уравнение сохранения энергии, получаем ( v{0}^{2}/2 = v{0}^{2} \cdot r{1}^{2}/2r{2}^{2} - G \cdot M /(r{2}-r{planet}) ).
Отсюда исключаем v0 и находим ( r{2} = 2r{planet} \cdot ( r{1}^{2}/(2r{planet}^2-G \cdot M) - 1) ).
Подставив ( r{planet} = r{1} ) и ( M = k \cdot r{planet}^{3} ), где k - плотность планеты, получаем ( r{2} = r_{planet} \cdot sqrt(3/2-2/3kG) ), что и является минимальным расстоянием до центра планеты, на котором окажется камень.