Простой вопрос.
представим что мы нашли холодную планету без морей и океанов, без расплавленной магмы внутри. планета имеет массу и размеры равные земным и вращается вокруг своей оси как земля. допустим на экваторе планету разрезали на два полушария и разнесли эти полушария на небольшое расстояние. потом наблюдатель сбросил в это пространство небольшой камушек.
вопрос 1. вычислить минимальное расстояние до центра планеты, на котором окажется камушек.считать что сопротивление движению отсутствует. планета однородна.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи нам необходимо использовать законы сохранения энергии.

Кинетическая энергия камня будет преобразовываться в потенциальную энергию в поле тяготения планеты. Начальная кинетическая энергия камня равна 0, так как он был сброшен. Поэтому потенциальная энергия камня в начальный момент времени равна его полной энергии и равна 0.

На нулевом расстоянии от центра планеты потенциальная энергия камня будет равна его полной энергии:

mgh = mv²/2

где m - масса камня, g - ускорение свободного падения на планете, h - расстояние до центра планеты, v - скорость камня.

Разрежем планету и разнесем полушария, пусть расстояние между ними равно r. Тогда при достижении камень линии равновесия (место, где сила тяжести будет направлена в точности по радиусу планеты) его потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию:

mgh = mv²/2

GmM/(r + h) = mv²/2

С учётом того, что v = ω * (r + h) (где ω - угловая скорость вращения камня), получим:

GmM/(r + h) = m(ω² * (r + h)²)/2

GmM = m ω² (r + h)³/2

(2GmM)^(1/3) = (r + h) * ω

Так как ω = v / (r + h), то можно получить уравнение:

v = 2 * (GmM)^(1/3) / ((r + h)^2)

Таким образом, минимальное расстояние до центра планеты, на котором окажется камень, можно найти приравняв скорость камня к нулю:

v = 0

Теперь осталось лишь искать решение этого уравнения и найти минимальное расстояние h.