В воде на глубине 1 м находится шарообразный пузырек воздуха.
На какой глубине этот пузырек сожмется в шарик вдвое меньшего радиуса?
Атмосферное давление нормальное.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти глубину на которой пузырек сожмется в шарик вдвое меньшего радиуса, мы можем воспользоваться законом Архимеда.

Пусть $P_1$ - давление на глубине 1 м, $P_2$ - давление на глубине $h$ м, $V_1$ - объем пузырька на глубине 1 м, $V_2$ - объем шарика на глубине $h$ м, $R_1$ - радиус пузырька, $R_2$ - радиус шарика.

По закону Архимеда:

$F_{выт}$ = $P_1$ $S$ = $P_2$ $S$ + $F_{атм}$,

где $F{выт}$ - сила взаимодействия газа внутри пузырька с жидкостью, $F{атм}$ - сила атмосферного давления, $S$ - площадь поверхности пузырька (и шарика).

Так как давление на глубине меняется линейно:

$F_{выт}$ = $P_1$ $S$ = $P_1$ $S$ + $\rho$ $g$ $V_1$ = $P_1$ $S$ + $\rho$ $g$ $\frac{4}{3}$ $\pi$ * $R_1^3$,

где $\rho$ - плотность воды, $g$ - ускорение свободного падения.

Также, так как пузырек находится на глубине 1 м, атмосферное давление учитывается только в силе взаимодействия пузырька с водой.

После сжатия пузырек превращается в шарик, а его объем изменяется:

$\frac{4}{3}$ $\pi$ $R_1^3$ = $\frac{4}{3}$ $\pi$ $R_2^3$ / 2,

$R_2$ = $\sqrt[3]{\frac{R_1^3}{2}}$ = $R_1$ / $\sqrt{2}$.

Таким образом, объем шарика будет вдвое меньше объема пузырька. Подставим равенство объемов в уравнение сил взаимодействия:

$P_1$ $S$ + $\rho$ $g$ $\frac{4}{3}$ $\pi$ $R_1^3$ = $P_1$ $S$ + $\rho$ $g$ $\frac{4}{3}$ $\pi$ $R_1^3$ / 2,

откуда $R_1$ = 2.

Таким образом, чтобы пузырек превратился в шарик вдвое меньшего радиуса, он должен находиться на глубине 2 м.