Определите период малых колебаний T тонкого стержня длиной L=1.11 м, подвешенного вертикально за один из концов. Подсказка: запишите уравнение вращательного движения для подвешенного стержня, полагая при расчете момента возвращающей силы, что sin φ≅φ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для тонкого стержня, подвешенного вертикально за один из концов, уравнение вращательного движения имеет вид:

I * d^2φ/dt^2 = -M

где I - момент инерции стержня относительно точки подвеса, M - момент возвращающей силы.

Момент инерции стержня относительно точки подвеса равен:

I = (1/3) m L^2

где m - масса стержня, L - длина стержня.

Момент возвращающей силы определяется как:

M = -m g L/2 * sin(φ)

При малых углах это можно приблизить как:

M = -m g L/2 * φ

Подставляем все в уравнение вращательного движения:

(1/3) m L^2 d^2φ/dt^2 = -m g L/2 φ

Упрощаем:

(1/3) L d^2φ/dt^2 = -g L/2 φ

d^2φ/dt^2 + (3/2) g/L φ = 0

Такое уравнение имеет решение в виде гармонического осциллятора:

φ(t) = A * cos(ωt + ϕ)

где ω - угловая частота колебаний, связанная с периодом T как T = 2π/ω.

В итоге получаем, что период малых колебаний T стержня равен:

T = 2π * (L/g)^0.5

Подставляем известные значения:

T = 2π (1.11/9.81)^0.5
T = 2π 0.362
T ≈ 2.27 с

Итак, период малых колебаний тонкого стержня длиной 1.11 м, подвешенного вертикатильно за один из концов, составляет примерно 2.27 с.