При исследовании физических свойств олова образец метала был расплавлен, а затем медленно остывал. Оказалось, что разница температур образца и окружающей среды уменьшается на a=20% за T = 3 минуты. Температура окружающей среды t1= 20 градусов. В некоторый момент времени температура образца t2 = 180 градусов. Сколько нужно минут чтобы образец остыл до температуры 70 градусов. Округлите ответ до целых.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Используем закон Ньютона охлаждения:

T(t) = T0 + (T1 - T0)e^(-kt),

где T(t) - температура образца в момент времени t,
T0 - температура окружающей среды,
T1 - температура образца,
k - коэффициент охлаждения, который можно найти из условия задачи.

По условию, разница температур уменьшается на 20% за 3 минуты:

0.8T = T1 - T0,
0.8T0 = T1 - T0,
0.2T0 = T1,
и
0.2T0 = T1e^(-3k).

Решая уравнения, найдем k = -0.0577.

Теперь можем записать дифференциальное уравнение для температуры образца:

dT/dt = -0.0577(T - 20).

Разделим это уравнение на (T - 20):

dT/(T - 20) = -0.0577dt.

Проинтегрируем обе стороны:

ln|T - 20| = -0.0577t + C.

Подставим начальные условия: при t = 0, T = 180:

ln|180 - 20| = -0.0577 * 0 + C,
ln(160) = C.

Получаем окончательное уравнение:

ln|T - 20| = -0.0577t + ln(160).

Теперь найдем время t, через которое температура образца достигнет 70 градусов:

ln|70 - 20| = -0.0577t + ln(160),
ln(50) = -0.0577t + ln(160),
-0.0577t = ln(160) - ln(50),
t = (ln(160) - ln(50)) / -0.0577.

Получаем t ≈ 15 минут.

Итак, чтобы образец остыл до температуры 70 градусов, понадобится примерно 15 минут.