По преданию царь Гиерон приказал ювелиру изготовить корону из чистого золота. Когда корона была готова, царь заподозрил мастера в нечестности и поручил Архимеду, не разрушая короны, определить, есть ли в ней пустоты. Архимед взвесил корону в воздухе и в воде. В воздухе ее вес оказался равным Р1 =9,81Н, а в воде Р2 =9,22Н. Легенда говорит, что Архимед обнаружил в короне пустоты, т.е. часть золота была похищена. Сколько золота украл античный ювелир? Плотность золота ρ3 = 19,3·103 кг/м3 , плотность воды ρв =1·103 кг/м3 .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся законом Архимеда, который гласит, что на тело, погруженное в жидкость, действует сила Архимеда, равная весу вытесненной жидкости. Таким образом, разность между весом тела в воздухе и в воде будет равна весу вытесненной жидкости:

F = Р1 - Р2 = mg - (mg - ρвVg) = ρвVg,

где m - масса тела, g - ускорение свободного падения (приближенно принимаем за 10 м/с^2), V - объем вытесненной воды.

Также мы знаем, что объем вытесненной воды равен объему пустоты в короне. Поэтому, объем пустоты в короне можно найти, зная формулу для объема пустоты:

V = m/ρзолота - m/ρкорона,

где ρзолота - плотность золота, ρкорона - средняя плотность короны (плотность золота можно принять равной плотности короны, так как плотность пустот нам не известна).

Из уравнения для силы Архимеда и объема пустоты найдем массу украденного золота:

m = Vρзолота = V(ρв V - ρв V/ρзолота) = ρв V^2 (1 - 1/ρзолота).

Подставляем данное выражение для массы в уравнение для силы Архимеда:

F = ρв Vg = ρв (ρв V^2 (1 - 1/ρзолота))g,

Решая это уравнение относительно V, найдем объем пустоты в короне:

V = ρзолота/(ρзолота - ρв) = 19,310^3/(19,310^3 - 1*10^3) = 0,965 м^3.

Теперь найдем массу украденного золота:

m = ρв V^2 (1 - 1/ρзолота) = 110^3 (0,965)^2 (1 - 1/19,310^3) = 88,1 кг.

Таким образом, античный ювелир украл 88,1 кг золота.