Шар радиуса 0,1 м и массой 5 кг, начинает катиться без проскальзывания по горизонтальной дороге и останавливается через 20 с под действием сил трения. Считая тормозящий момент равным 0.03 Н∙м, определить, сколько оборотов сделает шар до полной остановки.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся законами сохранения энергии и движения по окружности.

Из закона сохранения энергии можно записать, что кинетическая энергия начальная равна работе сил трения, совершенной за время движения:

( \frac{1}{2}I\omega^{2} = Mgt)

где I - момент инерции шара, (\omega) - угловая скорость шара, M - момент трения, g - ускорение свободного падения, t - время движения.

Момент инерции шара можно найти по формуле I = (\frac{2}{5}mr^{2}), где r - радиус шара, m - масса шара.

Подставляем известные значения:

(\frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^{2})\omega^{2} = Mgt)

(\frac{1}{5}mr^{2}\omega^{2} = Mgt)

Запишем уравнение для угловой скорости через скорость v шара:

v = r(\omega)

(\omega = \frac{v}{r})

Также запишем уравнение для ускорения шара:

v = at

где a - ускорение шара, t - время движения.

Из условия задачи видим, что шар двигается без проскальзывания, а значит a = -g.

Подставляем выражение для ускорения и угловой скорости в уравнение для энергии:

(\frac{1}{5}mr^{2}(\frac{v}{r})^{2} = Mgt)

(\frac{1}{5}mv^{2} = Mgt)

(v^{2} = 5Mgt)

(v = \sqrt{5Mgt})

(v = \sqrt{5 0.03 5 9.81 20})

(v \approx 31.54 m/s)

Теперь найдем количество оборотов шара, используя формулу:

N = v/2πr

(N = \frac{31.54}{23.140.1})

(N \approx 50.35)

Итак, шар сделает около 50 оборотов до полной остановки.