В игрушечной ракете в качестве рабочего тела используется струя воды, выбрасываемая из сопла. Какова должна быть площадь выходного отверстия сопла, чтобы ракета сразу начала вертикальный подъем при начальной массе M = 1 кг и постоянном расходе воды q = 0,1 л/с?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы ракета начала вертикальный подъем, необходимо, чтобы сила тяги ракеты была равна силе тяжести. Сила тяги ракеты равна импульсу выброшенной струи воды:
F = q * v

где q - расход воды, v - скорость выброшенной струи.

Скорость выброшенной струи можно найти из уравнения сохранения импульса для системы "ракета + струя воды":
M v = (M + Δm) w

где Δm - расход воды за время dt, w - скорость выхода струи относительно ракеты.

Теперь можем найти скорость струи и выразить через нее силу тяги:
v = (M + Δm) w / M
F = q (M + Δm) * w / M

Также известно, что сила тяги равна силе тяжести:
F = M * g

где g - ускорение свободного падения.

Из двух выражений для F получаем:
q (M + Δm) w / M = M * g

Зная, что q = 0,1 л/с = 0,1 кг/с, M = 1 кг, g = 9,8 м/с^2, можем искать необходимую площадь выходного отверстия сопла:
0,1 (1 + Δm) w / 1 = 1 9,8
0,1 (1 + Δm) w = 9,8
(1 + Δm) w = 98
w = 98 / (1 + Δm)

Также можно найти связь между Δm и площадью S сопла:
Δm = S ρ A
где ρ - плотность воды, A - скорость струи.

Подставляем это выражение в уравнение, связывающее w и S:
(1 + S ρ A) w = 98
(1 + S ρ A) 98 / (1 + S ρ A) = 98 / (1 + Δm)
98 = 98 / (1 + Δm)
1 + Δm = 1

Отсюда следует, что площадь выходного отверстия сопла S должна быть равна 0.