Угол между векторами a⃗ и b⃗ равен 120∘, |a⃗ |=|b⃗ |=1. Вычислите скалярное произведение векторов (3a⃗ +b⃗ )(a⃗ −b⃗ )

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем угол между векторами a⃗ и b⃗. Так как угол равен 120∘, то косинус этого угла равен -1/2 (так как косинус 120∘ равен -1/2).

Теперь вычислим скалярное произведение векторов (3a⃗ + b⃗ )(a⃗ − b⃗ )

Это равно:
(3a⃗ ⋅ a⃗ ) - (3a⃗ ⋅ b⃗ ) + b⃗ ⋅ a⃗ - b⃗ ⋅ b⃗

Так как |a⃗ |=|b⃗ |=1, то a⃗ ⋅ a⃗ = b⃗ ⋅ b⃗ = 1

Тогда у нас остается выражение:
(3a⃗ ⋅ a⃗ ) - (3a⃗ ⋅ b⃗ ) + b⃗ ⋅ a⃗ - b⃗ ⋅ b⃗ = 3 - 3(a⃗ ⋅ b⃗ ) + (b⃗ ⋅ a⃗ ) - 1

Для нахождения (a⃗ ⋅ b⃗ ) и (b⃗ ⋅ a⃗ ), воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
a⃗ ⋅ b⃗ = |a⃗ ||b⃗ |cos(угол между a⃗ и b⃗ )

Так как угол между a⃗ и b⃗ равен 120∘, то:
cos(120∘) = -1/2

Тогда:
(a⃗ ⋅ b⃗ ) = 1(-1/2) = -1/2
(b⃗ ⋅ a⃗ ) = 1(-1/2) = -1/2

Подставляем в выражение:
3 - 3*(-1/2) + (-1/2) - 1 = 3 + 3/2 - 1/2 - 1 = 5/2

Итак, скалярное произведение векторов (3a⃗ + b⃗ )(a⃗ − b⃗ ) равно 5/2.