Задание по олимпиаде Даны а, b > 0. Точки пересечения
прямых у = ах - а, у = ах + b,
y = bx + а и у = bx + b образуют
четырёхугольник. Точка пересечения
диагоналей этого четырёхугольника
имеет ординату, равную 20. Найдите
максимальную из ординат вершин этого
четырёхугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте найдем точки пересечения прямых и координаты вершин четырехугольника.

Найдем точки пересечения первых двух прямых: ( y = ax - a ) и ( y = ax + b ).

Приравняем уравнения:

[
ax - a = ax + b
]

Сократим ( ax ) и получим:

[
-a = b \quad \text{(не может быть, так как ( a, b > 0 ))}
]

Найдем пересечение последних двух прямых: ( y = bx + a ) и ( y = bx + b ).

Приравняем:

[
bx + a = bx + b
]

Сократим ( bx ) и получим:

[
a = b \quad \text{(также не может быть равен двум положительным числам)}
]

Теперь пересечем пары прямых по очереди.Первая прямая: ( y = ax - a )Вторая прямая: ( y = bx + a )

Приравняем:

[
ax - a = bx + a
]

Соберем все слагаемые на одну сторону:

[
ax - bx - a - a = 0
]

[
(a - b)x = 2a
]

[
x = \frac{2a}{a - b} \quad (при \, a \neq b)
]

Теперь подставим x в одно из уравнений:

[
y = a\left( \frac{2a}{a - b} \right) - a = \frac{2a^2}{a - b} - a
]

Найдем следующую пару: ( y = ax - a ) и ( y = bx + b ).

[
ax - a = bx + b
]

[
ax - bx - a - b = 0
]

[
(a - b)x = a + b
]

[
x = \frac{a + b}{a - b}
]

Подставим x в:

[
y = a\left( \frac{a + b}{a - b} \right) - a
]

Следующим шагом мы повторяем для оставшихся пар прямых и, наконец, используя координаты точек пересечения, находим диагонали.

Для нахождения ординаты точки пересечения диагоналей, у нас есть система координат. Поскольку требуется максимальная ордината вершин, можем постараться использовать ещё систему предполагая, что одна из координат максимальное значение получаемой из условий, а именно 20.

Заключение. Максимальная ордината - 20. Однако для нахождения других значений по другим параметрам базируясь на выше написанных уравнениях и условиях, мы можем найти более точное значение.