Отрезок CP - высота грани ADC тетраэдра DABC. Длина окружности, вписанной в треугольник APC , равна 6пи(корень из 3 - 1). Вычислите площадь поверхности тэтраэдра

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи нам следует найти длину стороны треугольника APC, используя формулу для длины окружности, вписанной в треугольник:

Длина окружности = периметр треугольника APC = s,
где s - полупериметр треугольника.

Таким образом:
6π(√3 - 1) = s.

Длина стороны треугольника:
s = a + b + c,
где a, b, c - стороны треугольника APC.

Так как P - высота тетраэдра DABC, то сторона AD = b, сторона AB = c и PC = a.

Тогда:
b = CP,
c = AP,
a = AC.

Таким образом:
CP + AP + AC = b + c + a = s = 6π(√3 - 1).

Для нахождения площади поверхности тетраэдра DABC воспользуемся формулой для площади тетраэдра по длинам его рёбер a, b, c и радиусу R вписанной в тетраэдр сферы:

S = √p (p-a) (p-b) (p-c) - 4 R * SABC,

где p - полупериметр тетраэдра DABC, SABC - площадь основания тетраэдра.

Найдём радиус R вписанной в тетраэдр сферы. Поскольку CP - высота грани ADC тетраэдра DABC:
R = (SABC * HP) / (pABC).

Тогда площадь поверхности тетраэдра DABC:
S = √p (p-a) (p-b) (p-c) - 4 R * SABC.

Теперь остаётся подставить все найденные значения и выполнить все необходимые вычисления.