Ребро куба abcda1b1c1d1 равно 4. Найдите расстояние между прямыми ab и cc1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления расстояния между прямыми ab и cc1, нужно найти расстояние между точкой c и плоскостью ab, т.е. перпендикуляр к плоскости ab, проходящий через точку c.

Так как прямая cc1 параллельна и плоскости ab, то вектор нормали к плоскости ab будет направлен вдоль вектора cc1, т.е. будет равен (0, 1, -1).

Теперь найдем уравнение плоскости ab, проходящей через точку a(a1, a2, a3) и параллельной вектору n(a, b, c):

a(x - a1) + b(y - a2) + c(z - a3) = 0

Учитывая, что a1=a2=a3=0, a = 0, b = 1, c = -1:

z = -y

Теперь найдем проекцию вектора c на плоскость ab, используя формулу проекции:

proj_c_ab = c - (cn) n / |n|^2

где n - нормализованный вектор n, |n|^2 - квадрат длины вектора n.

В нашем случае:

n = (0, 1, -1)
n_norm = (0, 1, -1) / sqrt(0^2 + 1^2 + (-1)^2) = (0, 1, -1) / sqrt(2)
|n|^2 = (0^2 + 1^2 + (-1)^2) = 2

proj_c_ab = (0, 1, -1) - (0 + 1(-1) + (-1)(-1)) / 2 (0, 1, -1) = (0, 1, -1) - 2/2 (0, 1, -1) = (0, 0, 0)

Теперь найдем расстояние между точкой c и плоскостью ab:

dist = |proj_c_ab - c| = |(0, 0, 0) - (1, 0, -1)| = sqrt((0-1)^2 + (0-0)^2 + (0 - (-1))^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2)

Таким образом, расстояние между прямыми ab и cc1 равно sqrt(2).