Дано два круга радиуса R. Они пересекаются так, что каждый проходит через центр другого. Два других круга с такими же радиусами имеют центры в точках пересечения первых двух. найти площадь общую для всех четырех кругов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам нужно найти площадь пересечения двух окружностей радиуса R, а затем умножить эту площадь на 4, так как у нас четыре таких пересечения.

Площадь пересечения двух окружностей радиуса R можно найти с помощью следующей формулы:

S = 2 R^2 (pi - arcsin(x) - x * sqrt(1 - x^2)),

где x = R / d, а d - расстояние между центрами окружностей.

Так как мы знаем, что центры окружностей находятся на расстоянии R друг от друга, значит d = 2R. Подставляем это значение в формулу:

x = R / 2R = 0.5.

Теперь можем найти площадь пересечения двух окружностей:

S = 2 R^2 (pi - arcsin(0.5) - 0.5 * sqrt(1 - 0.5^2)).

S = 2 R^2 (pi - pi/6 - 0.5 * sqrt(0.75)).

S = 2 R^2 (5pi/6 - 0.5 * sqrt(0.75)).

Теперь умножаем полученную площадь на 4, так как у нас четыре таких пересечения:

S_common = 4 2 R^2 (5pi/6 - 0.5 sqrt(0.75)).

S_common = 8 R^2 (5pi/6 - 0.5 * sqrt(0.75)).

Итак, мы нашли площадь общую для всех четырех кругов, пересекающихся друг через друга.