1. Дано: ABCD – параллелограмм, точка О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, периметр треугольника АОВ равен 21 см, периметр треугольника BOC 24 см, CD = 6 см. Найти периметр параллелограмма ABCD. 2. В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой стороной угол в 120градусов. Боковая сторона равна меньшему основанию. Найти углы трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Периметр треугольника AOV равен 21 см, значит, AO + OV + AV = 21. Периметр треугольника BOC равен 24 см, значит, BO + OC + BC = 24. Так как ABCD – параллелограмм, то AO = OC и AV = BV. Также, так как BD – диагональ, то BO = OD. Тогда получаем систему уравнений:

AO + OV + AV = 21
BO + OC + BC = 24
AO = OC
AV = BV
BO = OD
BC = CD - 6

Из уравнений выше находим, что AO = 7 см, BO = OD = 9 см, AV = BV = 5 см, BC = CD - 6 = 6 см. Тогда периметр параллелограмма ABCD равен 2(AO + BO) + 2(AV + BC) = 2(7+9) + 2(5+6) = 216 + 211 = 32 + 22 = 54 см.

Обозначим основания трапеции как AB и CD, боковую сторону как BC, а диагональ как AC. Так как угол между диагональю и боковой стороной равен 120 градусов, то ∠ABC = 120 градусов. Также, так как трапеция равнобедренная, то ∠ADC = ∠BAC.

Теперь заметим, что ∆ACD и ∆ABC – равнобедренные треугольники, так как AC = AD (диагонали) и CD = CB (основания). Тогда ∠ACD = ∠ADC, ∠ABC = ∠BCA и ∠ACD + ∠ADC = 120 градусов. Из этих равенств следует, что ∠ACD = 60 градусов, ∠ADC = 60 градусов, ∠ABC = 60 градусов, ∠BCA = 60 градусов. Таким образом, все углы трапеции равны 60 градусам.