В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC (AD > BC). Точка M - середина стороны CD, угол AMD - прямой. Найдите отношение длин оснований, если AB= 2/3 AM.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим отрезок AD за a и отрезок BC за b. Так как AB = 2/3 AM, то AM = 3/2 AB = 3/2 * 2/3 a = a.

Так как AM = a, то MD = a. Так как угол AMD - прямой, то треугольник AMD прямоугольный, следовательно, мы можем применить теорему Пифагора для нахождения отрезков MD и AM:

AD^2 = AM^2 + MD^2
a^2 = a^2 + a^2
a^2 = 2a^2
a = √2 * a

Так как AM = CD, то AB = DC - AM = b - a = b - √2 a.
Так как AB = 2/3 AM, то AM = 3/2 AB, откуда следует, что b - √2 a = 2/3 3/2 b.
Из этого уравнения можем найти, что a = b / (3√2 + 2), так как b ≠ 0, имеем осколь а ≠ 0:

3√2 a = b - √2 a
3√2 a + √2 a = b
a * (3√2 + √2) = b
a = b / (3√2 + √2)

Таким образом, отношение длины основания AD к BC равно √2 - 1.