Найдите значение выражения [tex]cos^2 x -sin^ 2 x[/tex] если[tex]tgx=-3[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Известно, что [tex]\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x)[/tex].
Также, из теоремы Пифагора,

[tex]\cos^2 x + \sin^2 x = 1[/tex],

что можно переписать в виде

[tex]\cos^2 x = 1 - \sin^2 x[/tex].

Подставляя это выражение в исходное уравнение, получаем:

[tex]\cos^2 x - \sin^2 x = (1 - \sin^2 x) - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x[/tex].

Также, из условия [tex]\tan x = -3[/tex], мы можем найти через теорему Пифагора значения [tex]\cos x[/tex] и [tex]\sin x[/tex]. Известно, что

[tex]\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = -3[/tex].

Пусть [tex]\sin x = -3k[/tex] и [tex]\cos x = k[/tex] для некоторого числа [tex]k[/tex]. Подставляя это в уравнение, получаем

[tex]\frac{-3k}{k} = -3[/tex],

Отсюда находим [tex]k = 1[/tex].

Таким образом, [tex]\sin x = -3[/tex], [tex]\cos x = 1[/tex].

Теперь подставляем значения [tex]\sin x[/tex] и [tex]\cos x[/tex] обратно в выражение для искомого значения:

[tex]\cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\cdot(-3)^2 = 1 - 18 = -17[/tex].

Итак, [tex]\cos^2 x - \sin^2 x = -17[/tex].