Найти экстремум функции [tex]f(x,y) = x^{2} - xy + y^{2}[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения экстремума функции необходимо найти ее частные производные по переменным x и y, приравнять их к нулю и решить полученную систему уравнений.

Частная производная по x:
[tex]\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - y[/tex]

Частная производная по y:
[tex]\frac{\partial f}{\partial y} = -x + 2y[/tex]

Теперь приравняем их к нулю и найдем значения переменных x и y:
Система уравнений:
[tex]\begin{cases} 2x - y = 0 \ -x + 2y = 0 \end{cases}[/tex]

Решение системы:
[tex]\begin{cases} 2x - y = 0 \ -x + 2y = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 2x \ y = \frac{x}{2} \end{cases}[/tex]

Подставляем в первое уравнение:
[tex]2x = \frac{x}{2} \Rightarrow x = 0[/tex]
[tex]y = 2*0 = 0[/tex]

Таким образом, найден единственный стационарный точка (0,0). Для определения характера этой точки, можно использовать вторые частные производные или критерий Сильвестра.