Противоположные стороны параллелограмма равны.

Доказательство: Для начала возьмем два треугольника - ABС и BCD. Так как AB||CD и AD||BC, то угол ADC равен углу ABC, так как они призматические. Получаем, что треугольники ADС и ABC равны по сторонам и углам и из этого следует, что AD=BC.

Противоположные углы параллелограмма равны.

Доказательство: Из первого свойства следует, что AB=CD. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по сторонам и углам, в том числе углам BAC и CAD.

Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

Доказательство: Пусть M - середина стороны AD, N - середина стороны BC. Так как AD || BC и AM=MD, BN=NC, то треугольники ABD и BCD равны по сторонам и углам, откуда AB=CD. Также треугольники AMD и BMC равны по сторонам и углам, поэтому AM=MC. Поэтому, MD=NC и MN паралельны AD и BC.

Площадь параллелограмма равна произведению длин его диагоналей, умноженному на синус угла между ними.

Доказательство: Рассмотрим треугольник ABD. Найдем его площадь по формуле: S=1/2 AB AD sin(угол BAD). По доказанному свойству 1, AB=CD. Также, AD=2DM=2NC=BC. Подставляем все это в формулу и получаем S= 1/2BCCDsin(угол BAD) = 1/2ACBD*sin(угол ABD).

Противоположные диагонали параллелограмма равны.

Доказательство: Пусть M и N - середины диагоналей AC и BD соответственно. Треугольники ABC и BAD равны. Тогда AM=MC, аналогичным образом BN=ND. Следовательно, AM=BN и MB=AN, что говорит о равенстве диагоналей параллелограмма.