Как доказать, что точка пересечения серединных перпендикуляров вписанного четырехугольника ABCD будет центром описанной окружности?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого факта следует воспользоваться теоремой Ван Обеля.

Пусть M, N, P и Q - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно, а O - точка пересечения серединных перпендикуляров. Тогда:

Проведем диагонали в четырехугольнике ABCD. По теореме о центре тяжести, точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ пополам и лежит на отрезке между серединами диагоналей.Также известно, что серединный перпендикуляр к стороне четырехугольника проходит через середину этой стороны и перпендикулярен ей. Следовательно, M и N лежат на серединных перпендикулярах AD и BC в точках X и Y соответственно.Далее, воспользуемся теоремой Ван Обеля: в любом четырехугольнике точка пересечения серединных отрезков делит их в отношении 2:1. Так как O - центр описанной окружности, то MO:OX = 2:1 и NO:OY = 2:1.Таким образом, по геометрической аналогии в четырехугольнике ABCD можно доказать, что O - центр описанной окружности ABCD.