В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов. Расстояние от центра основания до боковой грани равно 2√3. Найти объём пирамиды

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту треугольной пирамиды. Обозначим ее за h. Так как боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 60 градусов, то треугольник, образованный высотой пирамиды, высотой, проведенной к основанию и одним из боковых рёбер, является прямоугольным с углом 30 градусов. Таким образом, можно записать следующее уравнение:

h / 2√3 = tan30

h = 2√3 tan30
h = 2√3 1/√3
h = 2

Теперь найдем площадь основания пирамиды. Поскольку треугольник, образованный основанием и одной из боковых граней пирамиды, также является прямоугольным, то можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный одной из равных сторон основания, половиной боковой грани пирамиды и радиусом вписанной окружности. Этот треугольник является равносторонним, так как:

Основание = 2 * радиус

С учетом этого, площадь основания равна:

Площадь основания = (основание^2 sqrt(3)) / 4
Площадь основания = ((2 2)^2 sqrt(3)) / 4
Площадь основания = (16 sqrt(3)) / 4
Площадь основания = 4√3

Теперь можем найти объём пирамиды по формуле: V = (S * H) / 3, где S - площадь основания, H - высота.

V = (4√3 * 2) / 3
V = 8√3 / 3
V ≈ 4.618 единицы объёма.