В треугольнике MNP точка K лежит на отрезке MN, причём угол NKP острый. Докажите, что KP меньше MP.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это с помощью теоремы косинусов.

Обозначим длины отрезков следующим образом:
MP = a, NP = b, NK = c, KM = x, MN = y, KP = h

Так как угол NKP острый, то треугольник NKP - остроугольный. Применим теорему косинусов к этому треугольнику:

cos(NKP) = (c^2 + h^2 - b^2) / (2ch)

Также рассмотрим треугольники MNK и MNP. Используя ту же теорему косинусов, получим:

cos(MNK) = (x^2 + c^2 - b^2) / (2cx)
cos(MNP) = (x^2 + a^2 - b^2) / (2ax)

Так как угол MNP тупой, то -cos(MNP) > 0. Поэтому

(x^2 + a^2 - b^2) / (2ax) < 0
x^2 + a^2 - b^2 < 0
x^2 < b^2 - a^2

Теперь подставим это в выражение для cos(NKP):

(c^2 + h^2 - b^2) / (2ch) = cos(NKP) = cos(MNK) + cos(MNP)
(c^2 + h^2 - b^2) / (2ch) = (x^2 + c^2 - b^2) / (2cx) + (x^2 + a^2 - b^2) / (2ax)
(c^2 + h^2 - b^2) / (2ch) = (x^2 + c^2 - b^2) / (2cx) - (b^2 - a^2) / (2ax)
h^2 < c^2

Отсюда следует, что KP < MP.