В прямоугольной трапеции острый угол и угол который составляет меньшая диагональ с меньшем основанием равны по 60°, найдите отношение оснований

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основания трапеции равны a и b, а более длинная диагональ равна h.

Так как острый угол и угол между меньшей диагональю и меньшим основанием равны 60°, то противоположные к этим углам стороны равны. Тогда a/b = a/(a+h), так как a+h — длина длинной диагонали.

Теперь составим уравнение, используя теорему косинусов для треугольника с углом 60°:
(a + h)² = a² + b² + 2abcos(60°)
a² + 2ah + h² = a² + b² + ab
2ah + h² = ab + b²

Теперь подставим a/b = a/(a+h) в последнее уравнение:
2ah + h² = a^2 + (a^2 * h)/(a + h)

Далее перемножим обе стороны на a + h:
2ah(a + h) + h²(a + h) = a^2(a + h) + a^2h
2a^2h + 2ah^2 + h^2 = a^3 + a^2h + a^2h

И упростим:
2ah^2 + h^2 = a^3

Теперь подставляем a = k * b:
2kh^2 + h^2 = k^3b^3

Таким образом, отношение оснований равно:
a/b = 1/k