В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=3,AA1=4,AD=5 А) Докажите, что точки B,C1,D не лежат в одной плоскости. Б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках B,C1,D А1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

A) Предположим, что точки B, C1, D лежат в одной плоскости. Тогда объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен нулю, так как он стянут в плоскость. Но по условию AB=3, AA1=4, AD=5, что невозможно, так как это соотношение объемов невозможно для нулевого объема. Следовательно, точки B, C1, D не лежат в одной плоскости.

Б) Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен объему тетраэдра ABCD, так как его высота проходит через точку A1 и параллельна B1C1.

Сначала найдем площадь основания тетраэдра ABCD. Пусть точка B(a,0,0), C(b,c,0), D(0,d,e). Тогда площадь основания равна половине векторного произведения векторов BA и CA:

S = 1/2 |BA x CA| = 1/2 |(a,b,c) x (a-3,b-4,c)| = 1/2 * |(4c-3b,3a-4c,4b-3a)| = sqrt((3a-4c)^2 + (4b-3a)^2 + (4c-3b)^2)/2

Теперь найдем объем тетраэдра ABCD:

V = S*h/3 = sqrt((3a-4c)^2 + (4b-3a)^2 + (4c-3b)^2)/6

Таким образом, объем многогранника с вершинами в точках B, C1, D и A1 равен V.