Докажите, что прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая основания, делит эту трапецию на две равновеликие части

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB – основание трапеции ABCD, CD – верхнее основание, E – середина BC. Проведем прямую, проходящую через E и пересекающую основания трапеции AB и CD в точках K и L соответственно.

Так как E – середина BC, то BE = EC. Также, так как E – середина диагонали AD трапеции ABCD, то EK = KL = EL (по свойству точки, делящей отрезок пополам).

Треугольники ABK и DCL равны по стороне BK = CL (они равны как стороны параллельной трапеции), по стороне EK = KL и общему углу при вершине K:

[ \angle ABK = \angle DCL ]

[ \angle AKB = \angle DLC ]

Следовательно, по двум сторонам и углу они равны.

Прочий два треугольника

[ \triangle BKE \equiv \triangle CLE ]

равны по стороне BE = EC, стороне EK = EL и стороне BK = CL (они равны как стороны параллельной трапеции), а также по общему углу при вершине K (он тоже у них равен), значит, они равны. Получаем, что трапеция ABCD делится прямой, проходящей через середину средней линии и основания, на две равновеликие части.