В равнобедренном треугольнике ABC AB=BC.Найдите синус угла BAC если ctgC=5/12

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы BAC и BCA равны. Обозначим угол BAC (или BCA) как x.

Также, так как ctg(C) = 5/12, то ctg(x) = 5/12.

Используем определение ctg(x): ctg(x) = 1/tg(x), где tg(x) = sin(x)/cos(x).

Тогда ctg(x) = 1/(sin(x)/cos(x)) = cos(x)/sin(x).

Таким образом, имеем: cos(x)/sin(x) = 5/12.

Из условия равнобедренности треугольника ABC следует, что угол C равен (180 - 2x) градусов.

Т.к. третий угол треугольника равен 180 - 2x, то мы можем определить синус угла C через синус угла x: sin(180-2x) = sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Имеем cos(x)/sin(x) = 5/12 и sin(2x)=2sin(x)cos(x).

Решаем уравнение cos(x)/sin(x) = 5/12:

cos(x)/sin(x) = 5/12,
cos(x) = 5sin(x)/12,
cos^2(x) = 25sin^2(x)/144.

Теперь у нас есть:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1,
25sin^2(x)/144 + sin^2(x) = 1,
(25/144 + 1)sing^2(x) = 1,
169sin^2(x) = 144,
sin^2(x) = 144/169 = 12/13,
sin(x) = √(12/13) = 2√3 / 13.

Таким образом, синус угла BAC (или BCA) равен 2√3 / 13.