Плоскость, параллельная грани ABC тетраэдра DABC , пересекает его боковые рёбра DA , DB и DC в точках M , N и K соответственно. Найди периметр треугольника ABC, если периметр треугольника MNK равен 43 , а DK:KC=2:3 .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть стороны треугольника ABC равны a, b и c, а стороны треугольника MNK равны x, y и z.

Так как DK:KC=2:3, то мы можем выразить DK и KC через общий множитель k:
DK = 2k
KC = 3k

Также мы знаем, что периметр треугольника MNK равен 43, поэтому:
x + y + z = 43

По условию задачи, плоскость параллельная грани ABC пересекает линии DA, DB и DC в точках M, N и K, следовательно, треугольники ABC и MNK подобны.

Из подобия треугольников MNK и ABC следует, что соответствующие стороны пропорциональны:
x/a = y/b = z/c

Из уравнения x + y + z = 43 и пропорциональности сторон по подобию треугольников, можно составить систему уравнений:
x/a = y/b = z/c,
x + y + z = 43

Таким образом, восстановим пропорции сторон треугольника ABC:
a/b = x/y,
a/c = x/z

Из данных пропорций, следует:
a = bx/y,
c = bx/z

Теперь можем записать выражение для периметра треугольника ABC:
P = a + b + c = bx/y + b + bx/z

Так как периметр треугольника MNK равен 43, а стороны равны x, y и z, то периметр равен x + y + z = 43. Подставляем это в выражение для периметра треугольника ABC:
43 = bx/y + b + bx/z

После некоторых преобразований, получим:
43 = b(x + y + z)/y

Так как x + y + z = 43, то:
43 = 43b/y
b = y

Таким образом, сторона b треугольника ABC равна y, а периметр треугольника ABC равен:
P = a + b + c = bx/y + y + bx/z = xy/y + y + xy/z = x + y + x = 43 + y + x

Таким образом, периметр треугольника ABC равен 43 + y + x.