Прямоугольный треугольник — треугольник с одним прямым углом (90°). Кратко о важном и часто используемом: Определение и базовая теорема - Если катеты aaa и bbb, гипотенуза ccc, то действует Пифагор: a2+b2=c2.
a^2+b^2=c^2. a2+b2=c2. Площадь и высота - Площадь: S=12abS=\tfrac{1}{2}abS=21ab. - Высота hhh из прямого угла на гипотенузу: h=abch=\dfrac{ab}{c}h=cab. Разбиение гипотенузы (сегменты ddd и eee, d+e=cd+e=cd+e=c) - a2=cd,b2=ce,h2=de.a^2=cd,\qquad b^2=ce,\qquad h^2=de.a2=cd,b2=ce,h2=de. Окружности - Описанная окружность: радиус R=c2R=\dfrac{c}{2}R=2c. - Вписанная окружность: радиус r=a+b−c2r=\dfrac{a+b-c}{2}r=2a+b−c. Тригонометрические соотношения (для острого угла α\alphaα при катете aaa) - sinα=ac,cosα=bc,tanα=ab.\sin\alpha=\dfrac{a}{c},\quad \cos\alpha=\dfrac{b}{c},\quad \tan\alpha=\dfrac{a}{b}.sinα=ca,cosα=cb,tanα=ba. Специальные прямоугольные треугольники - 45°–45°–90°: стороны в отношении 1:1:21:1:\sqrt{2}1:1:2. - 30°–60°–90°: стороны в отношении 1:3:21:\sqrt{3}:21:3:2. Пифагоровы тройки (целочисленные стороны) - Общая параметризация примитивных троек для целых m>nm>nm>n, взаимно простых и не обе нечётные: a=m2−n2,b=2mn,c=m2+n2.
a=m^2-n^2,\quad b=2mn,\quad c=m^2+n^2. a=m2−n2,b=2mn,c=m2+n2.
- Примеры: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17)(3,4,5),\ (5,12,13),\ (8,15,17)(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17). Таких троек бесконечно много. Сходство и число - Два прямоугольных треугольника подобны тогда и только тогда, когда равны их острые углы (или отношение сторон одинаково). Существует бесконечно много неприводимых (неподобных) прямоугольных треугольников. Дополнительно полезно: медиана к гипотенузе равна c/2c/2c/2 и треугольник, образованный медианой, — равнобедренный.
Определение и базовая теорема
- Если катеты aaa и bbb, гипотенуза ccc, то действует Пифагор:
a2+b2=c2. a^2+b^2=c^2.
a2+b2=c2.
Площадь и высота
- Площадь: S=12abS=\tfrac{1}{2}abS=21 ab.
- Высота hhh из прямого угла на гипотенузу: h=abch=\dfrac{ab}{c}h=cab .
Разбиение гипотенузы (сегменты ddd и eee, d+e=cd+e=cd+e=c)
- a2=cd,b2=ce,h2=de.a^2=cd,\qquad b^2=ce,\qquad h^2=de.a2=cd,b2=ce,h2=de.
Окружности
- Описанная окружность: радиус R=c2R=\dfrac{c}{2}R=2c .
- Вписанная окружность: радиус r=a+b−c2r=\dfrac{a+b-c}{2}r=2a+b−c .
Тригонометрические соотношения (для острого угла α\alphaα при катете aaa)
- sinα=ac,cosα=bc,tanα=ab.\sin\alpha=\dfrac{a}{c},\quad \cos\alpha=\dfrac{b}{c},\quad \tan\alpha=\dfrac{a}{b}.sinα=ca ,cosα=cb ,tanα=ba .
Специальные прямоугольные треугольники
- 45°–45°–90°: стороны в отношении 1:1:21:1:\sqrt{2}1:1:2 .
- 30°–60°–90°: стороны в отношении 1:3:21:\sqrt{3}:21:3 :2.
Пифагоровы тройки (целочисленные стороны)
- Общая параметризация примитивных троек для целых m>nm>nm>n, взаимно простых и не обе нечётные:
a=m2−n2,b=2mn,c=m2+n2. a=m^2-n^2,\quad b=2mn,\quad c=m^2+n^2.
a=m2−n2,b=2mn,c=m2+n2. - Примеры: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17)(3,4,5),\ (5,12,13),\ (8,15,17)(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17). Таких троек бесконечно много.
Сходство и число
- Два прямоугольных треугольника подобны тогда и только тогда, когда равны их острые углы (или отношение сторон одинаково). Существует бесконечно много неприводимых (неподобных) прямоугольных треугольников.
Дополнительно полезно: медиана к гипотенузе равна c/2c/2c/2 и треугольник, образованный медианой, — равнобедренный.