Найдите площадь фигуры,ограниченной заданными линиями: y=x^3,y=2x-x^2,y=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо найти точки пересечения кривых и сформировать интеграл отрезка, на котором расположена фигура.

Сначала найдем точки пересечения кривых. Поставим уравнения кривых в систему:
y = x^3
y = 2x - x^2

Приравняем эти два уравнения:
x^3 = 2x - x^2

x^3 + x^2 - 2x = 0
x(x^2 + x - 2) = 0
x(x + 2)(x - 1) = 0

Таким образом, точки пересечения кривых x = -2, x = 1. Теперь нужно найти y для этих точек:
1) При x = -2:
y = (-2)^3 = -8
2) При x = 1:
y = 1^3 = 1

Затем найдем интеграл площади между указанными кривыми:
S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx
где f(x) - верхняя кривая, g(x) - нижняя кривая, [a, b] - интервал

На отрезке [-2, 1] верхняя кривая - y = 2x - x^2, нижняя - y = x^3, поэтому:
S = ∫[-2, 1] ((2x - x^2) - x^3) dx
S = ∫[-2, 1] (2x - x^2 - x^3) dx

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
S = ∫[-2, 1] 2x dx - ∫[-2, 1] x^2 dx - ∫[-2, 1] x^3 dx
S = x^2 | [-2, 1] - (x^3)/3 | [-2, 1] - (x^4)/4 | [-2, 1]
S = (1^2 - (-2)^2) - (1^3 - (-2)^3)/3 - (1^4 - (-2)^4)/4
S = (1 - 4) - (1 + 8)/3 - (1 - 16)/4
S = -3 - 3 - 3
S = -9

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^3, y = 2x - x^2 и осью x, равна -9 (площадь всегда положительная, поэтому здесь просто произошла ошибка в расчетах).