Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании а. Все двугранные углы при основании пирамиды равны БЕТА. а) докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание.б) докажите, что проекции на плоскость основания высот боковых граней, проведенных из вершины пирамиды, равны, и найдите их длину.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Пусть центр вписанной окружности пирамиды находится в точке О. Соединим вершину пирамиды с центром окружности. Так как угол при основании пирамиды равен а, то угол между высотой и боковой гранью также равен а.

Таким образом, треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности и половиной основания, является равнобедренным с углом при основании а. Следовательно, проекция вершины пирамиды на плоскость основания лежит на центре вписанной окружности.

б) Обозначим длину каждой проекции основания боковой грани как с. Так как угол между высотой пирамиды и боковой гранью равен а, то получаем, что сотношение длин проекций высот и оснований боковой грани равно tg(β) = c / (a/2).

Так как углы при основании пирамиды равны β, то угол между высотами боковых граней и плоскостью основания также равен β, что означает, что эти проекции равны. Таким образом, c = (a/2) * tg(β).

Итак, проекции на плоскость основания высот боковых граней, проведенных из вершины пирамиды, равны, и их длина равна c = (a/2) * tg(β).