В треугольнике ABC AB=x, AC=y, угол A= 15°, а в треугольнике MPK KP= x , MK=y , угол K= 165°. Сравните площади этих треугольников. Решить без sin и косинусов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь треугольника можно найти по формуле S = 0.5 a b * sin(C), где a и b - стороны треугольника, C - угол между этими сторонами.

Так как нам даны только стороны треугольников, мы можем воспользоваться формулой площади через полупериметр и стороны треугольника: S = sqrt(p (p - a) (p - b) * (p - c)), где p - полупериметр треугольника.

Для треугольника ABC:
p_ABC = (x + y + x) / 2 = (2x + y) / 2 = x + y / 2,
S_ABC = sqrt((x + y) / 2 (x + y / 2 - x) (x + y / 2 - y) (x + y / 2 - y)) =
= sqrt((x + y) / 2 (y / 2) (3x / 2) (x / 2)) = sqrt((xy^2(x + 3x))/16) = sqrt((4x^2y^2)/16) = xy/4.

Для треугольника MPK:
p_MPK = (x + y + x) / 2 = (2x + y) / 2 = x + y / 2,
S_MPK = sqrt((x + y) / 2 (x + y / 2 - x) (x + y / 2 - y) (x + y / 2 - y)) =
= sqrt((x + y) / 2 (y / 2) (3x / 2) (-x / 2)) = sqrt((-xy^2(x - 3x))/16) = sqrt((-4x^2y^2)/16) = -xy/4.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна xy/4, а треугольника MPK равна -xy/4. Их площади различаются по знаку, причем по модулю равны.