Дан треугольник ABC и H — точка пересечения высот этого треугольника. Пусть D — середина отрезка BC, E — середина отрезка АС. Кроме того, медианы треугольника AED пересекаются в точке H. Найдите градусную меру угла ∠ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку D и E - середины сторон ВС и АС, соответственно, то DE || AB и DE = 1/2AB.
Так как медианы треугольника AED пересекаются в точке Н, то H является центром масс этого треугольника. Следовательно, медиана AN делит DE в отношении 2:1.
Изменяя несколько пунктов, получаем AA' || BD и AA' = 1/3BC. Теперь AB = 3(hc)/2, AC = 3(hb)/2, и AC/AB = 3((hb)/(hc)).
Для прямоугольного HBC и HAC, получаем, что ∠HBC = ∠HAC; на основании аналогичных следствий, ∠ABC = 2∠HBC = 2∠HAC = ∠ACB; соответственно, ∠ABC = ∠HAC = ∠HBC = 90°.