Прямоугольник со сторонами a и b вращают вокруг той оси который проходить через один из его вершин и параллельно диагонали . Найти площадь поверхности тела вращения.
Ответ [tex] \frac{4 \pi ab(a+b)}{ \sqrt{a^{2} + b^{2} } } [/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади поверхности тела вращения воспользуемся методом цилиндрических оболочек.

Пусть сторона a лежит на оси вращения, тогда радиус обращения будет равен a, и ширина полоски равна dx. Тогда площадь поверхности образующей цилиндра равна 2π a dx, где dx = b * sinθ.

Интегрируем от 0 до b:
S = ∫[0, b] 2π a b sinθ dθ = 2πab (1 - cos(b))

Теперь раскроем cos(b) через теорему Пифагора:
cos(b) = a / √(a^2 + b^2)

Тогда площадь поверхности тела вращения будет равна:
S = 2πab (1 - a / √(a^2 + b^2))
S = 2πab - 2πa^2b / √(a^2 + b^2)
S = 2πab - 2πa(a b) / √(a^2 + b^2)
S = 2πab - 2π(a^2 * b) / √(a^2 + b^2)
S = 2πab (1 - a / √(a^2 + b^2))

Ответ: [tex] \frac{4 \pi ab(a+b)}{ \sqrt{a^{2} + b^{2} } } [/tex]