1) В треугольнике АВС АВ=ВС=12, АС=10. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны ВС в точке Т. Найдите ВТ 2) В прямоугольную трапецию вписана окружность. Меньшая боковая сторона трапеции равна 12, а разность оснований равна 5. Найдите большую боковую сторону трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Пусть точка касания окружности со стороной ВС обозначается как Т. Тогда можно заметить, что треугольник BAT, BTC и CTA являются прямоугольными, так как радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания.

Поэтому мы можем использовать формулу Пифагора для нахождения длин сторон треугольника:

AB = 12

AC = 10

BC = AB + AC = 12 + 10 = 22

Тогда по теореме Пифагора:

AT = √(AB^2 - r^2) = √(12^2 - r^2)

BT = √(BC^2 - r^2) = √(22^2 - r^2)

CT = √(AC^2 - r^2) = √(10^2 - r^2)

Также из условия задачи известно, что AB + BC = 2 * BT, откуда:

12 + 22 = 2 * √(22^2 - r^2)

34 = 2√(484 - r^2)

17 = √(484 - r^2)

289 = 484 - r^2

r^2 = 484 - 289

r = √195

Теперь мы можем найти BT:

BT = √(22^2 - r^2) = √(484 - 195) = √289 = 17

Итак, ВТ = 17.

2) Обозначим большую боковую сторону трапеции как Х, а меньшую - Y. Тогда из условия задачи имеем:

X - Y = 5

Y = 12

Применим формулу для радиуса вписанной окружности в трапецию:

r = (Y/2) * (X - Y) / (X + Y)

r = 6 * 5 / (X + 12)

r = 30 / (X + 12)

Также известно, что радиус окружности касается боковых сторон трапеции на расстоянии, равном половине суммы оснований:

r = (X - Y) / 2

Подставим выражения для r и Y в это уравнение:

30 / (X + 12) = (X - 12) / 2

60 = 2(X - 12)(X + 12)

60 = 2(X^2 - 144)

X^2 - 144 = 30

X^2 = 174

X = √174

Итак, большая сторона трапеции равна √174.