В треугольник ABC со сторонами AB = 4 и BC = 6 вписана окружность с центром O. Прямая BO пересекает сторону AC в точке K. Найдите CK, если AC = 5.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся свойством касательной, проведенной к окружности из точки внутри этой окружности.

Обозначим точку касания окружности с продолжением стороны AC за M.

Так как точка O - центр окружности, то треугольник OBM - прямоугольный (так как OM - радиус окружности, а BM - касательная). Значит, по теореме Пифагора в треугольнике OBM:
OM^2 + BM^2 = OB^2
R^2 + r^2 = OB^2
Где R - радиус вписанной окружности, r - радиус описанной окружности.
R = r = CK.

Заметим, что треугольник ABC подобен треугольнику BOM (по трем углам, так как угол BCO и угол BMO острый и одинаковый, угол ABC и угол MBO острый и одинаковый, угол OBC и угол OBM равны как вертикальные).
Отсюда получаем следующие соотношения сторон:
(AB/BC) = (BM/OM)
(4/6) = (BM/R)
BM = 2R/3

Также в треугольнике ABC:
(AB/AC) = (BM/BM)
(4/5) = (2R/3)/BM
BM = 6R/5

6R/5 = 2R/3
R = 5/3

Ответ: CK = 5/3.