Высота прямоугольного треугольника разделила его на два треугольника, отношение площадей которых равно 4 : 9. Найдите тангенс меньшего из острых углов этого треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть первый треугольник имеет площадь S1, а второй треугольник имеет площадь S2. Так как отношение площадей треугольников равно 4:9, то S1/S2 = 4/9.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Тогда площадь каждого треугольника равна (1/2)ab, (1/2)ac и (1/2)bc соответственно.

Так как высота треугольника делит его на две части, то отношение площадей первого и второго треугольников равно отношению сторон, на которые высота делит их.

S1/S2 = (1/2)ab / (1/2)ac = b/c = 4/9
b/c = 4/9

Теперь найдем тангенс меньшего из острых углов треугольника. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Пусть меньший угол равен α.

Тангенс α = a / b

Из подобия треугольников следует, что a/c = S1/(1/2)bc = 4/13
Так как b/c = 4/9, то получаем b = 4c/9
Из подобия треугольников также следует, что a/b = (1/2)bc / (1/2)ac = 9/13

Таким образом, тангенс меньшего из острых углов прямоугольного треугольника равен 9/13.