Сформулируйте и докажите теорему о пересекающихся хордах.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Теорема: Если две хорды, проведенные внутри окружности, пересекаются, то произведения их отрезков равны.

Доказательство:

Пусть дана окружность с радиусом R и проведены две пересекающиеся хорды AB и CD, причем их точка пересечения между отрезками AD и DB. Обозначим длины отрезков хорды AB как a и b, а длины отрезков хорды CD как c и d.

Поскольку точка пересечения лежит на обеих хордах, то из теоремы о пересекающихся хордах следует, что ADDB = CDDC.

Так как AD = a + c и DB = b + d, то имеем следующее равенство:

(a + c)(b + d) = cd

Раскрыв скобки и преобразуя уравнение, получаем:

ab + ad + bc + cd = cd

Так как ad + bc = cd, то:

ab + cd = cd

Откуда следует, что ab = cd. Таким образом, доказано, что произведения отрезков пересекающихся хорд равны.