Решите с дано и с объяснениями:3.В правильной треугольной пирамиде боковое ребро с плоскостью основания образует угол 45°. Высота пирамиды равна 18 см. Найдите площадь основания пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь боковой поверхности пирамиды равна (P_{б}=\frac{1}{2}ph), где (p) - периметр основания пирамиды, (h) - высота боковой грани.

Так как угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 45°, то треугольник, образованный боковой стороной и проекцией высоты в плоскость основания, является прямоугольным треугольником со сторонами (a) (проекция высоты) и (b) (половина периметра основания).

Поэтому (a=h\cos45°=\frac{h}{\sqrt{2}})

Так как высота равна 18 см, то (a=\frac{18}{\sqrt{2}}=9\sqrt{2}) см

Так как боковое ребро равно (\sqrt{a^2+h^2}=\sqrt{(9\sqrt{2})^2+18^2}=\sqrt{162+324}=\sqrt{486}=9\sqrt{6}) см

Так как боковое ребро образует прямоугольный треугольник с половиной периметра основания, то (b=9\sqrt{6})

Так как (p=2b=18\sqrt{6})

Так как (P_{б}=\frac{1}{2}ph=\frac{1}{2}\cdot18\sqrt{6}\cdot18=162\sqrt{6}) кв. см

Так как площадь основания равна (S{осн}=P{б}=162\sqrt{6}) единицы площади.