Периметр равнобедренной трапеции равен 80 см, а один из углов - 150 градусов. Найдите площадь трапеции, если высота, опущенная на основание, равна 6 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основания трапеции равны a и b, а боковые стороны равны c. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда периметр равнобедренной трапеции равен P = a + b + 2c = 80 см.

Так как один из углов трапеции равен 150 градусов, то другой угол тоже равен 150 градусов, так как сумма углов трапеции равна 360 градусов. Значит, трапеция равнобедренная.

Высота трапеции h = 6 см.

Так как треугольник, где h - высота, a - основание, и c - боковая сторона, равносторонний, то он равнобедренный, но не прямоугольный. Значит, у него острый угол равен 30 градусов.

Тогда по формуле косинуса в равнобедренном равнобедренном треугольнике acos(30°) = \frac{a}{2c}, \ или a = 2c \cdot \cos(30°). Из этого получаем, что a = c \cdot \sqrt{3}.

Теперь можем записать площадь трапеции через основания и высоту: S = \frac{(a+b)h}{2} = \frac{(\sqrt{3}c + b) \cdot 6}{2} = 3\sqrt{3}c + 3b.

Имеем систему уравнений:

\begin{cases} a+b+2c=80 \ a = c \cdot \sqrt{3} \end{cases}

Решим ее. Подставим второе уравнение в первое:

c \cdot \sqrt{3} + b + 2c = 80.

Преобразуем:

c(2+ \sqrt{3}) + b = 80.

Так как b = a - 2c, то b = c\sqrt{3} - 2c = c( \sqrt{3} - 2). И подставим выражение b в уравнение:

c(2+ \sqrt{3}) + c( \sqrt{3} - 2) = 80,
c(2 + \sqrt{3}+ \sqrt{3} - 2) = 80,
c(2\sqrt{3} - 2) = 80,
c = \frac{80}{2\sqrt{3} - 2},
c = \frac{40}{\sqrt{3} - 1} = \frac{40(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3}^2 - 1},
c = \frac{40(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = 20(\sqrt{3}+ 1).

Теперь найдем a и b:

a = c\sqrt{3} = 20\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) = 20 \cdot (3 + \sqrt{3}),
a = 60 + 20\sqrt{3},
b = a - 2c = 60 + 20\sqrt{3} - 40\sqrt{3} - 40,
b = 20 - 20\sqrt{3}.

Теперь найдем площадь трапеции:

S = 3\sqrt{3}c + 3b,
S = 3\sqrt{3} \cdot 20(\sqrt{3}+1) + 3 \cdot 20 - 20\sqrt{3},
S = 60(3 + 1) + 60 - 60\sqrt{3},
S = 240 + 60 - 60\sqrt{3},
S = 300 - 60\sqrt{3}.