На рис.123 ABCD-трапеция,точка O- центр вписанной окружности,

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а точки M и N-точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Докажем, что отрезки MN, AO и BC пересекаются в одной точке.

Из того, что O - центр вписанной окружности, следует, что OM перпендикулярен AB и ON перпендикулярен CD. Также из условия ABCD - трапеция следует, что AB || CD. Значит, OM и ON являются высотами трапеции и, следовательно, они пересекаются в точке H, являющейся серединой отрезка MN.

Из того, что AH = OH (так как O - центр вписанной окружности), следует, что треугольники MOH и NOH равнобедренные. Значит, MO = OH = NH.

Таким образом, отрезки MN, AO и BC пересекаются в точке H, являющейся серединой отрезка MN.