В треугольнике АВС известны длины сторон АВ=32 АС=64, точка О-центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВД, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке Д. Найдите СД

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем радиус описанной окружности. Для этого воспользуемся теоремой о центре окружности, описанной вокруг треугольника:
Ортогональная проекция радиуса описанной окружности на сторону треугольника делит эту сторону пополам. Таким образом, радиус описанной окружности равен половине длины стороны AC, то есть R = 32.

Так как О - центр описанной окружности, то треугольник ABO является равнобедренным. Значит, у него есть высота, перпендикулярная биссектрисе угла А. Проходя через точку D, она делит сторону AC на отрезки AD = DC. Так как треугольник ABO равнобедренный, то отрезки AD, DC и AO являются высотой и медианами.

По теореме о треугольнике, смежном соответствующему в правильной четырехугольной цепи, продолжив три стороны, получим равнобедренный треугольник АА1О, где АА1 = AO = 32. Тогда АО2 = 16, а высота AH = AO2 = 16. Значит, треугольник АDH подобен АО2Н, следовательно, DH = AO2^2 / AH = 16^2 / 16 = 16.

Итак, SD = SC - DC = 64 - 16 = 48.