Отрезок AM – медиана треугольника ABC, в котором AB > AC. Докажите, что ∠BAM < ∠CAM.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: AM - медиана треугольника ABC, AB > AC.

Доказательство:

Поскольку AM - медиана треугольника ABC, то AM делит сторону BC пополам.Пусть D - середина стороны BC. Тогда BD = DC.Треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и общему углу ADC.Следовательно, ∠ABD = ∠ACD.Треугольник ABD - прямоугольный, так как медиана AM является высотой треугольника ABC.Следовательно, ∠BAD = 90°.Так как ∠ABD = ∠ACD, то ∠CAD = ∠BAD - ∠ABD = 90° - ∠ABD.Значит, ∠CAM = 90° - ∠ABD.Так как при прямом угле синус угла максимален, то синус угла CAM больше, чем синус угла BAM.Следовательно, ∠BAM < ∠CAM.

Таким образом, доказано, что ∠BAM < ∠CAM.