Отрезок АВ является хордой окружности с центром О. Точка Р, лежащая на отрезке АВ, такова, что АР=4, ОР=15, ВР=16. Найдите радиус окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи, обратимся к теореме косинусов в треугольнике.

Пусть радиус окружности равен R. Тогда треугольник OAR - прямоугольный.

Применим теорему косинусов к треугольнику OAR:
(OR)^2 = (AR)^2 + (OA)^2 - 2 AR OA * cos(∠OAR)

Подставим известные значения:
R^2 = 4^2 + R^2 - 2 4 R cos(∠OAR)
16 = 16 + R^2 - 8R cos(∠OAR)

Теперь обратимся к треугольнику OBR. Применим теорему косинусов к треугольнику OBR:
(RB)^2 = (OR)^2 + (OB)^2 - 2 OR OB * cos(∠OBR)

Подставим известные значения:
R^2 = 15^2 + R^2 - 2 15 R cos(∠OBR)
R^2 = 225 + R^2 - 30R cos(∠OBR)

Теперь обратимся к треугольнику BPR. Применим теорему косинусов к треугольнику BPR:
(PR)^2 = (PB)^2 + (BR)^2 - 2 PB BR * cos(∠PBR)

Подставим известные значения:
16^2 = 15^2 + RB^2 - 2 15 RB cos(∠PBR)
256 = 225 + R^2 - 30R cos(∠PBR)

Из полученных уравнений найдем углы:
cos(∠OAR) = 1/2
cos(∠OBR) = 5/6
cos(∠PBR) = 5/6

Теперь найдем радиус окружности:
R = 5 cm