Площадь прямоугольного треугольника равна 12, а его гипотенуза равна 2√13 . Найдите косинус острого угла между медианами данного треугольника, проведенными к его катетам.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем катеты прямоугольного треугольника.
Пусть катеты треугольника равны a и b, тогда по формуле площади прямоугольного треугольника:

S = (a * b) / 2 = 12
ab = 24

Также из условия задачи известно, что длина гипотенузы равна 2√13:

c = √(a^2 + b^2)
(2√13)^2 = a^2 + b^2
4 * 13 = a^2 + b^2
52 = a^2 + b^2

Теперь мы имеем систему:

ab = 24
a^2 + b^2 = 52

Из первого уравнения найдем одну из переменных, например, представим a как 24/b:

(24/b)^2 + b^2 = 52
576/b^2 + b^2 = 52
576 + b^4 = 52b^2
b^4 - 52b^2 + 576 = 0

Это уравнение имеет корни b1 = 8 и b2 = 8 (так как b1 * b2 = 64^2 = 4096 и b1 + b2 = 52).

Теперь найдем значения катетов a и b:

a = 24 / b
a1 = 24 / 8 = 3
a2 = 24 / 8 = 3

Таким образом, катеты треугольника равны a = 3 и b = 8.

Теперь найдем длины медиан, проведенных к катетам. Медианы делят катеты пополам, поэтому их длины равны:

m1 = a / 2 = 3 / 2 = 1.5
m2 = b / 2 = 8 / 2 = 4

Далее, найдем косинус угла между медианами треугольника, проведенными к катетам. Для этого воспользуемся формулой:

cos(α) = (m1^2 + m2^2 - c^2) / (2 m1 m2)

Подставим известные значения:

cos(α) = (1.5^2 + 4^2 - (2√13)^2) / (2 1.5 4)
cos(α) = (2.25 + 16 - 4 13) / (2 6)
cos(α) = (18.25 - 52) / 12
cos(α) = -33.75 / 12
cos(α) = -2.8125

Таким образом, косинус острого угла между медианами данного треугольника равен -2.8125.