К окружности радиуса 5 с центром в точке О проведена касательная АВ. Найдите длину наибольшего из отрезков секущей этой окружности, проходящей через точки А и О, если известно, что АВ=12.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть С - точка пересечения окружности и отрезка АО. Тогда по свойству касательной угол АСО прямой, а значит треугольник АСО является прямоугольным.
Пусть D - середина отрезка АВ, тогда ОD=6.
Так как треугольник АСО прямоугольный, то по теореме Пифагора:
AC^2 + OC^2 = AO^2
AC^2 + (5)^2 = (5+c)^2, где c - длина отрезка СО
AC^2 = 20c
Так как OD=6, то по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АOD:
AD^2 + OD^2 = AO^2
AD^2 + (6)^2 = (12)^2
AD^2 = 108
Так как OD=6, то по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике CDO:
CD^2 + OD^2 = OC^2
CD^2 + (6)^2 = c^2
CD^2 = c^2 - 36
Так как треугольник АСО прямоугольный, то сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
AC^2 + CD^2 = AD^2
20c + (c^2 - 36) = 108
c^2 + 20c - 72 = 0
(c + 24)(c - 3) = 0
Так как c не может быть отрицательным, то c=3, а значит AC=√(20*3)=6√5
Таким образом, наибольший из отрезков секущей, проходящей через точки А и О, равен 6√5.