Внутри треугольника взята точка. докажите, что сумма отрезков от этой точки до вершин, меньше периметра треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим стороны треугольника как a, b и c, а отрезки от точки до вершин треугольника как x, y и z.

По неравенству треугольника:

a < b + c
b < a + c
c < a + b

Добавим ко всему трем неравенствам отношение от точки до вершины:

x < y + z
y < x + z
z < x + y

Теперь сложим все три неравенства:

x + y + z < (x + y + z) + (x + y + z)

x + y + z < 2(x + y + z)

Таким образом, сумма отрезков от точки до вершин треугольника меньше, чем удвоенный периметр треугольника.