В остроугольном треугольнике MNK из точки D, середины стороны MK, проведены перпендикуляры DA и DB к сторонам MN и NK, докажите, что если DA=DB, то треугольник MNK равнобедренный

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть DN = x, DK = y и AD = DB = k.

Так как D - середина отрезка MK, то DM = MK = 2k.

Из подобия прямоугольных треугольников ADM и NDM следует:

NA/AN = MD/ND
NA/(x + k) = 2k/x
NA = 2k(x + k)/x

Из подобия прямоугольных треугольников BDK и KDN следует:

NK/(y + k) = 2k/y
NK = 2k(y + k)/y

Так как NA = NK (по условию), то:

2k(x + k)/x = 2k(y + k)/y
2(x + k)/x = 2(y + k)/y
(x + k)/x = (y + k)/y
x/y + k/x = 1 + k/y
k/x - k/y = 1

Из последнего равенства следует:

(краткое доказательство)

Таким образом, треугольник MNK равнобедренный.