В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE. На отрезке AD выбрана точка P, а на отрезке CE выбрана точка Q так, что углы AQB и CPB – прямые. Найдите произведение BP и BQ, если известно, что площадь треугольника ABC равна 2, а cos угла ABC=12/13.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны треугольника ABC через a, b и c, а высоты AD и CE через h1 и h2 соответственно.

Так как AD и CE - высоты, то треугольники ABC и AQB, CPB подобны, поэтому можем записать следующие соотношения:
[ \frac{h_1}{h_2} = \frac{c}{b} \quad (1)]
[ \frac{h_1}{h_2} = \frac{c-b}{a} \quad (2)]

Из этих двух уравнений получаем, что
[ c = \frac{bh_1}{h_2} \quad (3)]
[ a = \frac{ch_1 - bh_1}{h_2} = \frac{h_1(c-b)}{h_2} \quad (4)]

Теперь рассмотрим площадь треугольника ABC:
[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 2]

Подставляем (4) в предыдущую формулу:
[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h_1(c-b)}{h_2} \cdot b = 2]
[ \frac{h_1(c-b)}{h_2} \cdot b = 4]
[ h_1(c-b) = 4h_2 \quad (5)]

Из тригонометрических соотношений для треугольника ABC, зная что cos(ABC)=12/13, находим, что a^2+b^2-2ab*(12/13)=c^2
Подставляем в эту формулу (3) и находим, что h1/h2=12/13
Подставляем h1/h2 в формулу (1):
( \frac{12}{13} = \frac{c}{b} )
Таким образом, ( c = \frac{12b}{13} ) и ( a = \frac{b(12-b)}{13} )

Теперь можем перейти к нахождению произведения BP и BQ. Заметим, что произведение BP и BQ равно площади треугольника BPQ, которая равна половине произведения высот, опущенных из вершины B на стороны BP и BQ. Таким образом,
[ BP \cdot BQ = \frac{1}{2} \cdot h_1 \cdot h_2 ]

Теперь, используя (5), получаем:
[ BP \cdot BQ = \frac{1}{2} \cdot 4h_2 = 2h_2 ]

Таким образом, произведение BP и BQ равно ( 2h_2 ).