В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с а один из острых углов равен бета. вырозите через с и бету бесектрису второго острого угла

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Биссектриса второго острого угла треугольника проходит через вершину угла и делит противолежащий ему сторону на две части, пропорциональные двум другим сторонам.

Пусть (AC) - гипотенуза, а (AB) и (BC) - катеты треугольника, и угол (A) равен (\beta).

Тогда по теореме синусов для треугольника (ABC) имеем:
[
\frac{AB}{\sin{\beta}} = \frac{AC}{\sin{180^\circ - \beta - \frac{\beta}{2}}}.
]

Учитывая, что (\sin{180^\circ - \beta - \frac{\beta}{2}} = \sin{\frac{\beta}{2}},)
[
AB = \frac{AC \cdot \sin{\beta}}{\sin{\frac{\beta}{2}}}.
]

По свойству биссектрисы получаем, что отношение отрезков (CB) и (CA) равно отношению (\frac{AC}{AB}):

[
\frac{AC}{CB} = \frac{AC}{AB} = \frac{\sin{\beta}}{\sin{\frac{\beta}{2}}}.
]

Таким образом, биссектриса второго острого угла через угол (\beta) выражается через гипотенузу и угол (\beta) следующим образом:
[
\boxed{BC = \frac{AC \cdot \sin{\beta}}{\sin{\frac{\beta}{2}}}}.
]