4. В тупоугольном треугольнике АВС на стороне АВ длиной 14 выбрана точка Е, равноудаленная от прямых АС и ВС, а на отрезке АЕ – точка К, равноудаленная от вершин А и В. Найти синус угла АСВ, если КЕ = 1, а угол САВ = 45º.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка D – середина отрезка АВ, а точка М – точка пересечения прямой DE и прямой BC. Треугольник ABC является прямоугольным, поскольку у него есть угол 90º (угол С), угол 45º (угол ACB) и угол 45º (угол CAB), следовательно, AC=DC=MC. Поскольку DE || AC, треугольник DAM является равнобедренным, так как AM=MD. Заметим также, что EM=ME=1, так как точка K равноудалена от вершин A и B.

Теперь вспомним, что в равнобедренном треугольнике МАD углы при основании равны между собой и равны 45º, значит, угол АМD = 90º - 45º = 45º. Теперь мы можем найти синус угла ASV.

Рассмотрим треугольник MSV. Он также является равнобедренным, так как MS = ME и угол МSV = 45º. Значит, угол SVB = 45º. Так как углы ASB и SVB смежные и дополняющие друг друга, то угол ASB = 180º - угла SVB = 180º - 45º = 135º.

Таким образом, синус угла ASV равен синусу 135º, что равно синусу (180º - 135º) = 45º. Итак, синус угла ASV равен sin(45º) = √2/2.